ENVIRONNEMENT DE RECETTE

Phénomènes aléatoires - Enseignement scientifique

Probabilité conditionnelle et indépendance

Exercice 1 : Complétion d'arbre - remplir en totalité

Tous les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à \(10^{-4}\).
Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale et fournit les renseignements suivants : « la population testée comporte \(6\%\) d'animaux malades.
Si un animal est malade, le test est positif dans \(98\%\) des cas ; si un animal n'est pas malade, le test est négatif dans \(92\%\) des cas ».
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade », et \(T\) l'événement « le test est positif ».
Remplissez l'arbre de probabilité ci-dessous.

Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.
{"M": {"T": {"intersection": " ", "value": " "}, "\\overline{T}": {"intersection": " ", "value": " "}, "value": " "}, "\\overline{M}": {"T": {"intersection": " ", "value": " "}, "\\overline{T}": {"intersection": " ", "value": " "}, "value": " "}}

Exercice 2 : Lecture d'arbre - déterminer proba du test

Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale. Le pourcentage d'animaux malades dans la population est connu.
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade » et \(T\) l'événement « le test est positif ».

En se servant de l'arbre ci-dessous, déterminer la probabilité qu'un animal soit malade lorsque le test est positif.
{"M": {"T": {"value": 0.9}, "\\overline{T}": {"value": 0.1}, "value": 0.13}, "\\overline{M}": {"T": {"value": 0.11}, "\\overline{T}": {"value": 0.89}, "value": 0.87}}
On donnera la réponse sous la forme d'un arrondi à \(10^{-4}\).

Exercice 3 : Probabilité conditionnelle en situation concrète avec un tableau rempli, questions en langage naturel

Dans un collège de 1000 élèves, on a constaté que :
  • - 32% font du football
  • - 44% font du handball et, parmi eux, 20% font aussi du football
On note :
  • - S1 : l’événement « l'élève fait du handball »
  • - S2 : l’événement « l'élève fait du football »
On donnera les informations sous forme d'un tableau :
Pratique le handballNe pratique pas le handballTotal
Pratique le football\(88\)\(232\)\(320\)
Ne pratique pas le football\(352\)\(328\)\(680\)
Total\(440\)\(560\)\(1000\)

On croise au hasard un élève de ce collège.
 
Indiquer la probabilité qu'il fasse du handball.
Indiquer la probabilité qu'il fasse du football, sachant qu'il fait du handball.
Indiquer la probabilité qu'il fasse du handball ET du football
Indiquer la probabilité qu'il fasse du handball OU du football
Indiquer la probabilité qu'il ne fasse pas du handball .

Exercice 4 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (2 branches)

Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.
Ce sondage révèle que 70% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 40% pratiquent la natation.
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 40% pratiquent la natation.

On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants :
  • - S : « le vacancier choisi fréquente une salle de sport »
  • - N : « le vacancier choisi pratique la natation ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(\overline{S}) \).
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"S": {"N": {"value": " "}, "\\overline{N}": {"value": " "}, "value": " "}, "\\overline{S}": {"N": {"value": " "}, "\\overline{N}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le vacancier choisi fréquente une salle de sport et pratique la natation »
Calculer la probabilité \( p \) de cet évènement.
On donnera la réponse sous la forme \(p = ...\).

Exercice 5 : Probabilité conditionnelle avec un tableau rempli, identifier les données pertinentes.

Afin de mieux connaître sa clientèle, une station balnéaire effectue une enquête auprès de 250 vacanciers. Le tableau ci-dessous présente la synthèse des réponses au sondage:

CampingHôtelChambre d’hôteTotal
Vient 1 semaine par an\(60\)\(90\)\(90\)\(240\)
Vient tous les week-ends\(90\)\(30\)\(70\)\(190\)
Vient 2 fois par an\(60\)\(80\)\(90\)\(230\)
Total\(210\)\(200\)\(250\)\(660\)

On choisit au hasard un client parmi les 660 personnes interrogées, toutes ayant la même chance d'être choisies. On considère les évenements suivants :

  • A : « la personne vient dans la station balnéaire tous les week-ends » ;
  • B : « la personne loge à l'hôtel ».
Déterminer la probabilité \(p(A) \) de l'évenement A.
On donnera la réponse sous la forme d'un entier ou d'une fraction simplifiée.
Déterminer \(p(A) \times p(B) \).
Déterminer la probabilité \(p(A \cap B) \).
Les évènements A et B sont_ils indépendants ?
Déterminer la probablité \( p_{\overline{B}}(A) \).
Revenir au choix du niveau
False